"A geometria está em tudo,
Ela surge do nada, forma pontos[...]"

Partindo da frase acima, um ponto representa a existência de algo no espaço, ele determina assim uma localização para aquele objeto sem forma, comprimento ou qualquer outro elemento. Temos então a indicação de um ponto, em determinada coordenada e localização no espaço. Sua representação é feita por letras maiúsculas, como A, B, C, assim por diante.

Observe a figura a seguir:

Figura 5 – Pontos

Fonte: Beduka (2021) (https://beduka.com/blog/materias/matematica/ponto-reta-e-plano/)

"A geometria está em tudo,
Ela surge do nada, forma pontos, retas[...]"
Uma reta representa a união entre dois pontos dispostos no espaço, ela é representada por uma letra minúscula (a, b, r, s) e por duas setas nas extremidades, representando um comprimento infinito naquela direção, como é possível visualizar na figura a seguir.


Figura 6 – Reta

Fonte: Imagem do Autor.


Conceitualmente, temos infinitos pontos nessa reta, por isso nesse primeiro momento nós definimos uma reta qualquer, que pode ser representada de diversas formas.

"A geometria está em tudo,
Ela surge do nada, forma pontos, retas, semirretas[...]"


Mesmo existindo uma reta que conceitualmente seria de comprimento infinito, nós bem sabemos que na prática não existe nada disso, por esse motivo nós começaremos a limitar esse tamanho impondo pontos dentro dessa reta infinita.
Como o próprio nome já diz, é uma semirreta, ou seja, uma metade dela, por isso nós temos o exemplo da figura a seguir.


Figura 7 – Semirreta

Fonte: Imagem do Autor.

Observe que metade dessa reta está limitada, com um ponto A fazendo esse trabalho. Porém em B a reta continua indo para o infinito, como indica a direção da flecha.
Por isso lembre-se que semirreta será sempre a metade de uma reta infinita, em um ponto limitado, no outro lado tendendo a um valor sem parada, com nomenclatura igual a .

"A geometria está em tudo,
Ela surge do nada, forma pontos, retas, semirretas, segmentos[...]"


Como visto nos conceitos de reta e semirretas, dois conceitos que são um pouco abstratos na nossa realidade, chegamos agora em algo mais fácil de ser visualizado, que é o segmento de reta.
Os pontos continuam existindo, mas agora considera-se somente a distância entre eles, não analisando toda a reta que possui comprimento infinito. Em outras palavras, nós estudamos só um pedaço dessa reta. Observe a figura a seguir.


Figura 8 – Reta

Fonte: Imagem do Autor.


Como na figura, temos dois pontos que estão limitando o uso dessa reta, considerando então somente o que estiver entre A e B, ou seja, o segmento de reta .

"[...] A beleza se origina nessa união implacável!
Com suas formas, lados e ângulos"


Agora que possuímos as informações sobre a formação dos pontos, retas, semi e segmento de retas, partiremos para a combinação de um ou mais elementos no espaço. Observe:

Animação 1 – Geometria em jogos

Fonte: The One Club For Creativity (2017): (http://adcglobal.org/carly-ayres-tic-tac-toe/)

Note que esse vídeo ilustrativo, além de apresentar figuras como um círculo, apresenta o longo uso de retas e segmento delas, nota-se primeiramente o próprio tabuleiro, no X formado no jogo, assim como a linha desenhada para indicar a vitória. Dando maior detalhe no tabuleiro, notamos o cruzamento dessas linhas, que origina a formação de ângulos!


Figura 9 – Tabuleiro do jogo

Fonte: Quora (2020) (https://pt.quora.com/Existe-uma-maneira-de-nunca-perder-no-Jogo-da-Velha-ou-Jogo-do-Galo).


Temos nesse caso, a formação de ângulos retos, ou seja, aqueles que formam perfeitamente noventa graus (90°). Mas nem sempre será assim!
Sempre que houver o cruzamento de retas ou segmento delas, será possível notar a formação de um ângulo entre esses pontos formados, como nota-se na figura a seguir.


Figura 10 – Formação de um ângulo

Fonte: Imagem do Autor.


Perceba também que quando o ângulo não é conhecido, podemos chamá-lo de alfa (α), beta (β), teta (θ), entre outros.

"Moldamos tudo o que vemos no cotidiano[...]"

Após o entendimento de retas, suas derivações e os ângulos formados entre elas, podemos verificar a existência de planos.
Assim como as outras características, os planos estão diretamente relacionados no nosso dia a dia. Observe a seguir.

Figura 11 – Exemplos de plano

Fonte: Pixabay (2017) (https://pixabay.com/pt/vectors/quadro-de-avisos-painel-lembretes-2180351/).

Olhando bem para esse quadro responda: Quantos planos existem nessa imagem?
Se sua resposta foi 5, parabéns! Você identificou corretamente um dos exemplos de plano! Se ainda não visualizou, note a imagem a seguir.

Figura 12 – Planos identificados

Fonte: Adaptado Pixabay (2017) (https://pixabay.com/pt/vectors/quadro-de-avisos-painel-lembretes-2180351/).
Ficou mais fácil de entender? Entenda que o plano é o próximo estágio entre a combinação de duas retas com uma angulação formada no espaço. Isso define o que é um plano.
Assim como no exemplo anterior, convivemos vendo planos no nosso dia, seja em uma mesa, folha, ou o próprio chão. Com tanta variedade de usos, definimos o mais importante na matemática como sendo o Plano Cartesiano! Ele está representado a seguir.


Figura 13 – Plano Cartesiano

Fonte: HP de Mat (2012) (https://hpdemat.apphb.com/Plano).


Podendo ser encontrado em diversas diagramações, o plano Cartesiano representa essa estrutura básica, onde ocorre a formação de um plano entre o eixo das abscissas (reta x que tende ao infinito) e o eixo das ordenadas (reta y que tende ao infinito). Com um ângulo de 90° entre ambos, notamos a formação desse plano, que representa toda a parte quadriculada.
Também existem estudos e aplicações que necessitam de um plano adicional nesse modelo, vejamos.


Figura 14 – Plano Cartesiano em três eixos

Fonte: UNESP Araraquara (http://www.calculo.iq.unesp.br/sitenovo/Calculo1/tridi_coordenadas.html).

Observe a adição da reta (ou eixo) Z, assim como os planos formados entre essas três retas.

A junção de mais de uma reta origina uma figura geométrica, que representa algo plano (duas dimensões) e traz o conceito de polígono:

lembre-se!!

Diariamente temos contato com figuras geométricas, como visto que elas são planas, podemos lembrar de uma bela e saborosa pizza, como na figura a seguir.

Figura 15 – Figura geométrica na pizza

Fonte: Pixabay (2016) (https://pixabay.com/pt/photos/americana-bacon-p%C3%A3o-queijo-1239091/).

Perceba a circunferência plana que é descrita na borda da pizza. Indo mais além, percebemos também que cada pedaço de pizza pode representar um triângulo, figura que estudaremos com mais detalhe a seguir. Lembre-se: Figuras geométricas estarão sempre em um único plano! Daí o seu nome para a geometria plana. Mas caso exista mais que um, ocorrerá a formação de sólido geométrico. O que veremos a seguir.

No início do conteúdo, quando falamos sobre aplicações no dia a dia, assim como falado sobre planos, utilizamos vários exemplos de sólidos geométricos, pois ele estão em tudo, como numa caixa, no cone de trânsito, bola de futebol etc.
Veja a seguir os principais sólidos que conhecemos ao longo da nossa vida.

Figura 16 – Exemplos de sólidos

Fonte: Pixabay (2016) (https://pixabay.com/pt/vectors/s%C3%B3lidos-geom%C3%A9tricos-tri%C3%A2ngulo-1690273/).

Note que todos os sólidos possuem as três principais dimensões: comprimento, largura e altura, ou seja, três tipos de segmentos de reta que estão combinados formando ângulos e formas.
Já que possuem três retas distintas, pode-se dizer que esses sólidos pertencem a três eixos no espaço, como o Plano Cartesiano. Temos algo parecido com isso na figura a seguir.

Figura 17 – Exemplos de sólidos

Fonte: Aprender AutoCad (2010) (http://aprender-cad.blogspot.com/2010/10/sistemas-de-coordenadas.html).

Veremos agora mais algumas propriedades primárias e essenciais para o estudo da geometria, que consistem em:

• Faces;
• Vértices;
• Arestas.

Pode ser que você já tenha escutado esses termos anteriormente, mas mesmo que não tenha ouvido, não se preocupe, todos eles estão no sólido geométrico! Observe:

Figura 18 – Faces, vértices e arestas

Fonte: TodaMatéria (2019) (https://www.todamateria.com.br/poliedro/).

Figura 19 – Segunda demonstração dos elementos

Fonte: Educa mais Brasil (2018) (https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/cubo).

Em breve no cursinho popular!

Em breve no cursinho popular!

Esse valor de 360° vem do princípio sobre plano Cartesiano, estudo dos ângulos e princípios de trigonometria. Se você notar na imagem a seguir, temos todos os quatro ângulos encontrados no plano formado pelo eixo x e y, que juntos, desenvolvem uma volta completa no plano, ou seja, 4 x 90° = 360°.

Figura 21 – Formação dos ângulos no plano Cartesiano

Fonte: Adaptado de HP de Mat (2012) (https://hpdemat.apphb.com/Plano).